Программа Гильберта предполагала, что математические утверждения можно доказать, опираясь на фиксированный набор аксиом. А для того, чтобы доказать прежде недоказуемое утверждение, достаточно добавить одну новую аксиому. Так вот Гёдель показал, что этого все равно недостаточно, – как бы вы ни дополняли систему новыми аксиомами, всегда останутся утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть.
Татьяна читала все изданные работы Гёделя. Их было немного. Она проследила все повороты его мысли в доказательстве знаменитых теорем. Ее не покидало ощущение, что она идет по своим же следам – логика Гёделя была ей знакома. Самое сильное впечатление на нее произвела его лекция, прочитанная 26 декабря 1951 года в Провиденсе на ежегодной встрече членов Американского математического общества. В тот день коллеги встретили его бурными овациями. Гёдель, впрочем, уже был болен и с трудом выносил человеческое общество. Он быстро прочитал лекцию по бумажке и тут же скрылся, даже не дав публике задать вопросы.
Лекция в Провиденсе, текст которой Гёдель совершенствовал до самой смерти, посвящалась природе математического знания, современному платонизму и формализму. Платоники считали, что объекты математики существуют объективно. Ученые только открывают то, что уже есть. Формалисты, напротив, считают, что математика – это чистая игра ума и разум может создавать любые реальности, независимо от того, имеются ли они в природе.
Сам Гёдель был страстным платоником. Обе его теоремы описывают мир, где математические объекты существуют объективно. Это приравнивает математику к физике. Но в физике мы никогда не сможем описать все объекты. Как и в математике.
Ограничение, которое наложил Гёдель на математическое знание, действует вечно: или полнота знания без уверенности в его истинности, или истинность, но без полноты. Как говорил ближайший друг Гёделя Альберт Эйнштейн: «В случае если математические предложения имеют отношение к действительности, они неточны, и наоборот, если они точные, они не имеют отношения к действительности».
Именно эта магия научного знания всегда завораживала Таню. Образы, в которых математика являлась ей, всегда были настолько яркими и полными жизни, что она инстинктивно дополняла ими наличную реальность. Это был мир стремительной рефлексии, в которой эмоции освобождались от гнета страха, превращаясь в идеальное топливо мысли. Жизнь за пределами этого мира казалась ей просто скучной.
Работы Гёделя действовали на Таню ровно так же, как теннисная ракетка на мяч, придавая новое направление и ускоряя мысли. Несколько соображений она изложила Маркову. Он тут же предложил ей оформить их в диссертацию. И, читая ее заметки, все чаще поднимал на нее испуганные глаза и говорил шепотом: