Десять лет Гильберт занимался разработкой арифметической аксиоматики. Он сумел доказать три ее ключевых пункта. Вопервых, математика является полной, то есть любое математическое утверждение можно доказать или опровергнуть, основываясь на правилах самой дисциплины. Вовторых, математика является непротиворечивой, то есть нельзя одновременно доказать и опровергнуть некое утверждение, не нарушая принятых правил. И втретьих, математика является разрешимой, то есть, пользуясь правилами, про любое утверждение можно сказать, доказуемо оно или нет. Гильберт настаивал, что и другие науки при создании соответствующей аксиоматики станут такими же ослепительно прекрасными – полными, непротиворечивыми и разрешимыми.
5 сентября 1930 года в родном городе Гильберта Кенигсберге открылся очередной Международный математический конгресс. Он продолжался три дня – с пятницы 5 сентября по воскресенье 7 сентября. Конгресс должен был завершиться торжественным чествованием Гильберта, который наконецто убедил всех в своей теории и помирил, казалось бы, непримиримых противников.
Во время воскресного пленарного заседания математик Арен Гейтинг, бывший противник Кантора, заявил: «Если бы проект Гильберта удалось реализовать, то классическая математика была бы оправдана и тогда все приняли бы бесконечность с распростертыми объятиями». Казалось, истина и дружба победили.
Когда счастливые ученые уже собирались покинуть зал, неизвестный худощавый молодой человек в очках поднял руку и попросил слова. Курту Гёделю в тот момент было всего двадцать четыре года. Он страшно нервничал. Он только что защитил докторскую диссертацию, и его имя никому ничего не говорило. Гёдель объявил, что, если соблюдать условие Гильберта о проверяемости доказательств, не получится создать такую систему аксиом арифметики, в которой можно было бы доказать все утверждения ее теории. Всегда будут существовать утверждения истинные, но недоказуемые на основе аксиом – такова была первая теорема о неполноте. Даже если предложенные аксиомы позволяют доказать некую часть арифметических истин, то проверить их непротиворечивость алгоритмически невозможно. Опасность парадокса будет сохраняться. Такова вторая теорема о неполноте. Выходило, что юный Гёдель полностью опроверг программу Гильберта, чествовать победу которой собрались все ведущие математики мира.
Логика Гёделя была настолько ясной, что ученые, и даже сам Гильберт, приняли ее тут же. Такого почти не бывает. Обычно любая новая математическая теория встречается яростным недоверием, как то было, например, с теорией Кантора. Но тут у математиков возражений не нашлось. Гёдель использовал знаменитый парадокс лжеца – античный аналог парадокса Рассела о брадобрее. «Критяне всегда лгут», – сказал философ Эпименид. Однако сам он был критянином, поэтому фраза оказалась замкнута на саму себя: если он говорит правду, то лжет, но если он лжет, значит, говорит правду.